非标准模型的性质

【摘要】本文以超结构为基础研究了非标准模型的性质。首先，讨论了有限集的非标准扩张的性质.其次，给出了拷贝与非标准扩张间的关系。最后，证明了扩张映射保持有限布尔运算和函数的非标准扩张的性质。

【关键词】超结构   非标准模型  拷贝  非标准扩张

一、引言与预备知识

上世纪 60 年代，美国数学家 A.Robinson 以数理逻辑为基础创立了非标准分析[1]。非标准分析是使用非标准模型研究各种数学问题的新的数学理论。如今，非标准分析已被广泛地应用于测度论、拓扑学、随机分析等多个数学分支中[2，3]。

本文以超结构为基础研究了非标准模型的性质。首先，讨论了有限集的非标准扩张的性质；其次，给出了拷贝与非标准扩张间的关系；最后，证明了扩张映射保持有限布尔运算和函数的非标准扩张的性质。

先来回顾一些非标准分析理论中的基本概念，详细内容可参见文献[4，5]。

设 S 是无限个体集，归纳定义：V0（S）=S，Vk+1（S）=Vk（S）∪P（Vk（S）），其中 P（X）表示 X 的幂集，令 V（S）=V0（S）∪V1（S）∪…，称 V（S）为个体集合 S 上的超结构。

定义 1 设标准个体集 S 是无限集，V（S）是 S 上的超结构，给定集合*S 的超结构 V（*S）及从 V（S）到 V（*S）内的映射*：A→*A，若满足条件：

（1）对于所有 s∈S，*s=s，或等价地说，S？哿*S。

（2）一个有界量词公式 Φ（A1，A2，…，An）在 L（V（S））中为真，当且仅当 Φ（*A1，*A2，…，*An）在 L（V（*S））中为真。

则称其为 S 的一个非标准模型.

定义 2 （1）设 Λ∈V（*S），若存在 A∈V（S），使得 A=*A，则称 Λ 为标准的。若 A∈V（S），那么*A 称为 A 的非标准扩张。若 A？哿 V（S），那么 σA={*a：a∈A}称为 A 的拷贝。

定义 3 设 A 是一个集合，Ω？哿 P（A），若对于 Ω 的任意有限个元素 A1，A2，…，An，均有 ∩ni=1Ai≠φ，则称集族 Ω 具有有限交性质。

二、主要结论

定理 1 设 S 是无限集，V（*S）是 S 的非标准模型，那么

（1）若 A∈V（S）＼S 是有限集，则*A=σA。特别地，对于任意的 a∈V（S），*{a}={*a}；

（2）若 A？哿 S 是有限集，则*A=A。

证明 （1）设 A∈V（S），则存在 k∈N，使得 a∈Vk（S），由转换原理，*a∈*Vk（S）。而{a}可被定义为{a}={x∈Vk（S）：|=（x=a）}，从而，*{a}={x∈*Vk（S）：*|=（x=*a）}，因此，*{a}={*a}。对于任意有限集 A∈V（S）/S，由扩张映射的布尔性质知，*A=*（∪a∈A{a}=∪a∈A*{a}=∪a∈A{*a}=σA。

（2）利用扩张原理可得 A=σA，又由（1）知*A=σA，从而，*A=A。

定理 2 设 A∈V（S）＼S，σA 是 A 的拷贝，*A 是 A 的非标准扩张，那么：

（1）*A∩σV（S）=σA，（2）σA？哿*A，（3）σA=*A 当且仅当 A 是有限集。

证明 （1）设 a∈*A∩σV（S），则 a∈*A 且 a∈σV（S）。因此，存在 b∈V（S），使得 a=*b，又 a∈*A，所以，*b∈*A。由转换原理，b∈A， 由 σA 的定义知，a∈σA。反之，设 a∈σA，即存在 b∈A，使得 a=*b，由转换原理，*b∈*A，故 a∈*A。又 a∈σA 且 σA？奂 σV（S），因此，a∈*A∩σV（S）。

（2）由（1）直接可得.

（3）必要性由定理 1 可得，下面证明充分性，反设 A 是无限集，由（1）和（2），*A∩σV（S）=σA 且 σA？哿*A。首先考虑 A=N 的情况，则*N∩σV（S）=σN 且 σN？哿*N。若 n∈N，则*N＼{*n}=*N＼*{n}=*（N＼{n}）∈σV（S）？奂 Vint（*S），因此，*N＼{*n}是内的。由于*N 是无限集， 所以，{*N＼{*n}：n∈N}内集族有有限交性质，由饱和原理，*N＼{*n}≠φ，与题设矛盾，如果 A 是一般的无限集，不失一般性，令 N？奂 A， 且 N≠A.则 σN？奂 σA，σN≠σA 且*N？奂*A，*N≠*A.由题设，σA=*A，则*A∩*N=*A∩*N=*N，又 σA∩*N？哿 σV（S）∩*N=σN，故 σN=*N，矛盾。

推论 设 A？奂 S，则：（1）*A∩S=A，（2）A？哿*A，（3）A=*A 当且仅当 A 是有限集。特别地，S 和 V（S）分别是*S 和 V（*S）的真子集。

定理 3 设 S 是无限集，V（*S）是 S 的非标准模型，那么

（1）扩张映射*保持笛卡儿乘积，即若 A，B∈V（S）＼S，那么*（A×B）=*A×*B。进而，标准集族 σV（S）＼S 对有限次笛卡儿乘积封闭；

（2）扩张映射*保持实体（个体或集合）的有序对，即若 a，b∈V（S），那么*<a，b>=<*a，*b>，进而，标准集族 σV（S）对 n 维（n∈N）有序对封闭。

证明 （1）假设 A×B=C，则

|=（（？坌 a∈A）（？坌 b∈B）（<a，b>）∈C））∧（（？坌 c∈C）（？埚 a∈A）（？埚 b∈B）（<a，b>）=c）），

由转换原理，

*|=（（？坌 a∈*A）（？坌 b∈*B）（<a，b>）*C））∧（（？坌 c∈*C）（？埚 a∈*A）（？埚 b∈*B）（<a，b>）=c）），

即*A×*B=*C，对于有限次笛卡儿乘积，可由数学归纳法得到。

（2）*<a，b>=*{{a}，{a，b}}={*{a}，*{a，b}}={{*a}，{*a，*b}}=<*a，*b>。对于 n 维（n∈N）情况，利用定理 1 即得。

定理 4 设 f：A→B 是 V（S）中的函数， 则

（1）*f 是*A→*B 的函数；

（2）在*f|σA=f 意义下，*f 是 f 的扩张，即对所有 a∈A，*f（*a）=*（f（a））；

（3）*（dom（f））=dom（*f），*（ran（f））=ran（*f）。

证明 （1）f 设是 V（S）中的函数，dom（f）和 ran（f）分别是 f 的定义域和值域，则

|=（（（？坌 z∈f）（？埚 x∈A）（？埚 y∈B）（z=<x，y>）））∧（（？坌 x∈A）（？埚 y∈B）（<x，y>）∈f））∧（（？坌 x∈A）（？埚 y∈B）（（<x，y>）∈f）？圳（y=f（x）））））.由转换原理，

*|=（（（？坌 z∈*f）（？埚 x∈*A）（？埚 y∈*B）（z=<x，y>）））∧（（？坌 x∈*A）（？埚 y∈*B）（<x，y>）∈*f））∧（（？坌 x∈*A）（？埚 y∈*B）（（<x，y>）∈*f）？圳（y=*f（x）））））.故*f 是*f：*A→*B 的函数。

（2）假设 a∈A，b∈B 由转换原理，|（f（a）=b）？圳 |=（（a∈A）∧（<a，b>∈f））？圳*|（（*a∈*A）∧（<*a，*b>∈*f））？圳*|=（*f（*a）=*b），因此，*（f（a））=*b=*f（*a）。

（3）由于 dom（f）=A，*（dom（f））=dom（*f）直接可由（1）得.又

ran（f）={y∈B：（？埚 x∈dom（f））（<x，y>）∈f）}，

故，*（ran（f））={y∈*B：（？埚 x∈*dom（f））（<x，y>）∈*f）}将*（dom（f））换为 dom（*f），则*（ran（f））={y∈*B：（？埚 x∈*dom（*f））（<x，y>）∈*f）}， 即*（ran（f））=ran（*f）。

参考文献

[1]Robinson A.Nonstandard Analysis[M].Amsterdam：North- Holland，1963.

[2]史艳维，马春晖.由有限核生成的 Loeb 测度[J].华中师范大学学报：自然科学版，2013，47（6）：759-762.

[3]史艳维，马春晖.Loeb 空间的测度同构[J].东北师大学报：自然科学版，2013，45（4）：28-30.

[4]陈东立，马春晖，史艳维.非标准分析理论及其应用[M].西安：西北大学出版社，2014.

[5]Davis M.Applied Nonstandard Analysis[M].New York：Wiley，1977.

基金项目：西安培华学院校级课题（PHKT20130609）。

作者简介：史艳维（1980-），女，陕西西安人，硕士，讲师，主要从事应用非标准分析方面的研究。

作者 史艳维