分期付款标准回望期权定价的二叉树方法
作者
【摘要】分期付款是一种广泛应用于金融实际的支付形式, 将其引入到标准回望期权中，构造出一类分期付款回望期权,本文主要讨论分期付款标准回望期权的定价技术。
【关键词】分期付款期权 回望期权 修正二叉树方法
一、引言
分期付款(Installment Paying) 是一种广泛应用于金融实际的支付形式，如人寿保险、教育基金保险、住房按揭贷款等都是分期付款。本文将分期付款引入到标准回望期权中，构造出分期付款标准回望期权，可以为投资者提供灵活的进入与退出机制，而且降低投资者风险和投资成本，从而研究这些产品的定价与风险管理显得十分重要。
二、分期付款标准回望期权定价
执行价格为，到期日为T的分期付款标准回望看涨期权，它在t时刻的价格为,期权持有人在t 时刻要继续拥有此期权至到期日T, 必须支付。持有人也可以选择在停时τ∈Tt（Tt是取值与[t,T](t≥0)的停时集合）放弃该期权，获得收益为,同时可以收回余下的期权金Q(τ)，那么在τ时刻的总收益为。由风险中性定价原理：
即.
同理，同样得到分期付款标准回望看跌期权的价格函数：，其中.
三、修正二叉树方法
Cheuk1997年对标准回望期权得到一个单状态二叉树模型，该模型简单易懂，已得到广泛应用。但此法收敛速度慢，为了提高其效率,DaiMing在此基础上提出了修正二叉树模型，本节将其推广到对分期付款标准回望期权定价。
现将区间[0,T]进行分割：，定义风险中性概率测度：
.
对于到期日为T的分期付款标准回望期权，在到期日的收益为：.那么表示标准回望看涨期权在tj时刻的价格，定义(),则有：，其中是依赖状态变量和时间变量的函数。那么给定分期付款率q，得到分期付款标准回望看涨期权的二叉树模型：
通过倒推得到初始期权费：,其中V(k,tj)为：
对于修正二叉树模型，将u-j变为即可。
四、数值结果及结论
设定股票的初始价格S0=100，无风险利率r=0.04，红利率δ=0，到期日T=1，波动率σ=02，分期付款率q分别为5、10、15，用二叉树模型和修正二叉树模型得到的数值结果如下：
随着分期付款率的增加期权价格呈下降趋势。另外与二叉树模型相比，修正二叉树模型得到的结果收敛速度快，效率高。
利用以上的参数和修正二叉树模型，得到分期付款标准回望看涨期权的最佳停止边界，如图1所示。边界是单调递减的，且分期付款率越高停止区域越大，表明合约之初, 放弃的概率较大， 但随着时间的增加差别逐渐减小。 因此对于分期付款标准回望期权定价来说, 分期付款率的确定非常重要。
参考文献
[1] Min Dai, A Modified Binomial Tree Method for Currency Lookback Options[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series,2000, 16(3)445-454.
[2] Jailllet P,Lamberton D,Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J]. Acta Applications Mathematics,1990,21:263-289.
作者簡介：周静（1980-），女，广州科技职业技术学院，研究方向：金融工程；李家华（1982-），男, 讲师, 广州科技职业技术学院，研究方向：金融、物流、电子商务。
作者 周静 李家华