基于受约束正则方法的奇异期权定价

【摘要】本文研究一种对奇异期权定价的非参数方法，避开了传统期权定价方法对资产价格分布假设和波动率假设等难题，并且不同于其他非参数方法从期权历史交易价格出发为新期权定价，本文直接用标的资产的价格为期权定价。因此，即使在期权市场不完善，期权价格不可靠、不可得，甚至不存在的情况下，也能为期权有效定价。此外，本文将正则定价方法和隐含二叉树方法有效结合，扩展到为奇异期权的定价问题上，并在传统的正则定价方法中加入了价格敏感因素作为约束条件，以提高该方法的定价精度。

【关键词】正则方法  约束条件  隐含二叉树  期权定价

一、标的资产的价格路径

奇异期权是路径依赖期权，因此，为奇异期权定价需要考察标的资产在期权期限内的价格演变过程。本文采用离散时间定价方法，假设奇异期权的到期时刻为 T，当前时刻为 t，将时间段 T-t 分为 N 个时间间隔，用 τ 表示观测时刻，τ=t1，t2，…，tN-1，T。考察 M 条股票价格路径，则每一条都由 N+1 个价格元素组成，即当前价格 St 和在 N 个观测时刻的价格：{S■，S■■，S■■，...，S■■，S■■，？坌 i=1，2，…，M}.所以，标的资产收益的相应地由下式表示：

S■■=S■R■■

S■■=S■■R■■=S■R■■ n=2，3，...，N （1）

R■■ 表示第 i 条样本路径（？坌 i=1，2，…，M），τ 时刻对应的资产收益率。一般的，样本路径的数量 M，明显大于期权执行时刻的数量 N。

进一步地，假设每一条股票价格样本路径服从相等的真实世界概率分布 ■（i）=■，？坌 i=1，2，…，M。标准正则方法仅假定标的资产的到期收益服从均匀分布，而为奇异期权定价时需要考虑的是整条价格变化路径，因此这里假定的是 M 条标的资产价格样本路径服从均匀分布。这里的 ■ 是经验分布函数，以概率收敛于真实分布 π，是  π 的一个逼近。

二、最优等价鞅测度

正则定价方法的核心是将真实世界的概率测度转换为风险中性概率测度。所求的风险中性概率 ■*（i），？坌 i=1，2，…，M 必须满足等价鞅测度（EMM）的性质，即：

■■π■=1 ？坌 j=1，2，…，N （2）

完备市场存在唯一的等价鞅测度，可以直接用风险中性定价方法来为期权定价。但本文研究的是从标的资产历史交易价格出发的非参数方法，现实的资本市场是不完备市场的，即存在多个符合约束条件的等价鞅测度。因此，找出其中最优的等价鞅测度 ■*，作为为奇异期权定价所需的风险中性概率是本方法的关键所在。本文根据 Stutzer（1996）的相对熵方法，最优等价鞅测度就是在概率转换中信息丢失最少的那一个等价鞅测度，可以通过最小化真实概率和风险中性概率的 Kullback-Leibler 距离来求得：

■*=■D（π*，■）=■π■log■ （3）

其中，■■π■log■ 就是 π■ 和 ■ 的 Kullback-Leibler 距离公式。

三、最优约束条件

期权的实际交易价格中，隐含了为新期权定价所需要考虑的价格敏感因素，如期权市场的交易限制、期望期权回报，以及在不完全市场中的市场风险价格等。Gray 和 Newman（2005），Gray、 Edwards 和 Kalotay（2007）等学者的研究表明，如果同标的相应期权是被准确定价的，将其历史交易价格作为约束条件，加入到新期权的定价公式中，可以提高定价精度。所以，本文在为奇异期权定价时，可以考虑加入同标的的相对应的欧式、美式期权价格，或同时加入这两种期权的交易价格作为约束条件，排除相应的奇异期权是为了防止循环计算。

假设以相应的欧式期权价格 C■ 作为约束条件，由于约束期权的价格是在当前时刻 t 之前被观测到的，因此以 t-1 表示观测时刻。则在为奇异期权定价时，就需要估计一个拉格朗日乘数向量 γ*=（γ1，γ2）：

γ*=■■expγ■■-1+γ■■-C■■（4）

其中，S■■ 和 r■■ 是约束期权被观测时，即 t-1 时刻的标的资产价格和无风险利率，X■■ 和 T■■ 为约束期权执行价格和到期期限。

此时，最优等价鞅测度为：

■■■=■ （5）

四、正则隐含二叉树为奇异期权定价

通过受约束的正则方法，得到了风险中性概率 ■*，作为隐含二叉树的终期结点概率。构造一棵步数为 n，结点个数为 m 的隐含二叉树，对应的结点概率为 Pi，j，其中 i（i=1，2，...n）为步数，j（j=1，2，...m）为结点，则：

Pi-1，j=■[（i-j）Pi，j+（j+1）Pi，j+1] （6）

特别的，最后一步

Pn-1，j=■[（n-j）■*j+（j+1）■*i，j+1]

相应的，从结点（i-1，j）向上运动的转移概率：

Pi-1，j=■ （7）

对应结点的收益率为：

Ri-1，j=[Pi-1，jRi，j+1+（1-Pi-1，j）Ri，j]/r （8）

由式（6）（7）（8）即可构造出一棵隐含二叉树，应用新构造的树形就能为期权定价。

五、结论

用 Stutzer（1996）提出的正则方法计算风险中性概率，并加入约束条件以提高计算精度，将求得的风险中性概率作为树形的终端节点概率，结合相应节点的标的资产收益率，由后往前求出树形的路径概率和其他结点的收益率，从而构造出一棵隐含二叉树，就能用构造的树形为各种奇异期权定价。

参考文献

[1]Stutzer M.A simple nonparametric approach to derivative security valuation[J].Journal of Finance，1996，51：1633-1652.

[2]Rubinstein M E.Implied binomial trees[J].Journal of Finance，1994，49：771-818.

[3]Liu Q，Guo S.Canonical Distribution，Implied Binominal Tree，and the Pricing of American Options[J].The Journal of Futures Markets，2013，33：183-198.

作者简介：贺靖轩，女，福州大学经济与管理学院金融学专业，硕士研究生，研究方向：资产定价。

作者 贺靖轩