基于最优停止方法的可续期债券定价模型

【摘要】武汉地铁集团有限公司于 2013 年 10 月发行了我国第一只可续期债券，开创了我国可续期债券的先河，大批可续期债券将会相继进入中国债券市场，如何合理地给可续期债券定价因此变得越发重要。本文通过动态规划中最优停止的方法，以 13 武汉地铁可续期债券为例，对可续期债券的定价进行了讨论，并通过随机微积分的方法给出了可续期债券价值的显示解。同时，将 13 武汉地铁可续期债券的条款代入，算出了 13 武汉地铁可续期债券的实际价值。

【关键词】可续期债券债券定价

一、背景

可续期债券，在国外又称为永续债（perpetual bond），是指没有到期日的债券，发行人只须持续偿付利息而永远毋须还本。可续期债券在国外起步较早，已经发展成了一个比较成熟的债券种类，截止到 2014 年 3 月 20 日，全球已发行可续期债券总量为 3804 只，总额达 1.23 万亿美元。武汉地铁集团有限公司于 2013 年 10 月发行了我国第一只可续期债券（以下简称 13 武汉地铁），开创了我国可续期债券的先河，大批可续期债券将会相继进入中国债券市场，如何合理地给可续期债券定价因此变得越发重要。

无权可续期债券的定价较为简单，将永久期限年金折现加总即可。13 武汉地铁属于特殊含权类型的可续期债券，在该期债券每 5 个计息年度末，发行人有权选择将本期债券期限延续 5 年，或选择在该计息年度末到期全额兑付本期债券。13 武汉地铁采用浮动利率形式，利率由基准利率加上基本利差确定。基准利率每 5 年确定一次。首次基准利率为发行公告日前 1250 个工作日的一周上海银行间同业拆放利率（Shibor）的算术平均数（四舍五入保留两位小数），其后每 5 年的基准利率为在该 5 年计息周期起息日前 1250 个工作日的一周上海银行间同业拆放利率的算术平均数（四舍五入保留两位小数）。

二、问题分析

国外对于含权公司债的定价主要基于 1973 年 Black & Scholes 提出的无套利欧式期权定价模型，Merton 在 1974 年首先将这一模型用于公司债的定价。但是这类定价模型并不适用于含权可续期债券，以 13 武汉地铁为例，13 武汉地铁偿还机制的特殊性在于以下两点：

一是 13 武汉地铁可续期债券的期限是无限的。

二是 13 武汉地铁可续期债券在无限期限内赋予发行人无限次选择权（每五年一次），因此不可能用单次选择权的 Black-Scholes 期权定价模型对其定价。

考虑到前一次选择权与后一次选择权之间的动态权衡，我们可以把 13 武汉地铁可续期债券的定价看成动态规划中带有不确定性的最优停止问题。

三、模型假设与构建

其中，13 武汉地铁第一个五年期利率为 8.50%，基准利率 St 为 2.89%，利差为 5.61%。y 代表债券的到期收益率，这里我们选取同期银行间市场五年期 AA+ 企业债的到期收益率，2013 年 10 月 29 日银行间市场五年期 AA+ 企业债的到期收益率为 6.1376%。V（St+5）表示第一个五年期末选择权对于投资者的价值，是当时基准利率 St+5 的值函数。即债券现值等于前五年利息折现值的加总加上第一个五年期末选择权价值期望的折现值。

在 2018 年 10 月 29 日，即第一个五年期末，发行人将面临第一次选择权，就每一单位债券而言，发行人可以选择支付本金 100 元，或者以新的利率继续支付五年利息，然后再执行第二个五年期末的选择权，在第二个五年期末，发行人重复以上问题，依次向后类推。发行人将在两种支付选择中选择价值更小的那个。在第一个五年期末，选择权对于投资者的价值函数 V（St+5）与下一个五年期末的选择权价值函数满足以下动态关系：

四、模型求解

五、模型讨论

（一）上述定价模型并没有考虑可续期债券违约风险对于债券价值的影响

13 武汉地铁属于企业债，在中国企业债信用接近政府信用，信用相对较高。截止到 2014 年 3 月 20 日，中国内地还没有出现企业债违约的情况。因此，我们在模型中可以近似忽略违约风险对债券价值的影响。

（二）从模型结果可以看出，13 武汉地铁可续期债券的现值要低于其票面价值

原因可以归咎于我们前边一个很重要的假设，我们假设每日一周 shibor 服从几何布朗运动，并用此来模拟基准利率的走势。而基准利率是由起息日前 1250 天的平均值决定的，其波动率要远低于每日一周 shibor 的波动率。所以与模型结果相比，真实的债券价值要在模型结果的基础上给予投资者一定的风险补偿。即真实的债券价值要高于模型结果 91.40 元。

参考文献

[1]黄薇，张宗益.一类投资时点问题的最优停止模型及其等待时间[J].系统科学与数学，2009（2）.

[2]任建芳，王石.最优停止理论中离散化方法的应用[J].国防科技大学学报，1998（2）.

[3]王卫屏，范德胜.中国企业债券定价方式研究[J].经济与管理战略研究，2013（2）.

作者宋晓天周笑言