指数收益率的波动率预测
摘要：本文以具有代表性的 9 个中国股市指数的高频价格和每日收盘价（时间窗口是 2013 年至 2018 年）作为数据源，比较广义自回归条件异方差模型（简称 GARCH 模型，下同）和 high-frequency-basedvolatilitymodels（简称 HEAVY 模型，Shephard 和 Sheppard（2010），下同）的预测精度。把整体数据源分为样本内数据和样本外数据，样本内数据用于参数估计，样本外数据用于模型预测。然后通过损失函数计算损失值，损失函数值越小，则模型的预测效果越好。最后通过 Diebold-Mariano 检验统计量判定两个模型优劣的显着性。结果是 HEAVY 模型整体比 GARCH 模型预测效果要好。
关键词：GARCH HEAVY 最大似然估计 损失函数 Diebold-Mariano 检验统计量
一、引言
20 世纪 90 年代以后，随着信息技术和互联网技术的迅速发展，市场交易信息和资产价格信息获取也更加方便和及时。因此，通过信息技术的帮助，研究人员可以获得高频的交易数据，例如 10 分钟、5 分钟、1 分钟的交易数据。同理，获取数据的频率越高，获取的交易信息就越多，分析者做出精准预测的把握性就越大，使得研究结果更精确、更有说服力，可以提高相关领域的风险管理能力。金融风险的大小通常是由标的资产价格或收益的波动率来衡量的，而潜在风险是需要预测相关资产的波动率来衡量的。本文波动率预测模型主要是 Shephard 和 Sheppard（2010）引进的 high-frequency-basedvolatilitymodels（简称 HEAVY 模型，下同）。以 GARCH 模型（见 Bollerslev（1986））作为参照，对中国股市的代表性指数数据分别进行 GARCH 模型和 HEAVY 模型建模，分析并对比它们各自的预测值和预测精度，为相关风险投资者和决策者提供更加科学、精准的预测方法。
二、文献回顾
（一）GARCH 模型研究
资产的波动率被广泛地应用在期权定价、风险管理中。这种指标的确立促进了自回归条件异方差模型（简称 ARCH 模型，Engle（1982）和 GARCH 模型的发展。GARCH 模型是在 ARCH 模型的基础上增加了异方差函数的 P 阶自相关性。在 GARCH 模型的结构里，关键成分就是条件方差。当 GARCH 模型中自回归多项式部分存在单位根时，就可以将模型变成 intergratedGARCH（简称 IGARCH 模型），见 Engle 和 Bollerslev（1986）。其他的对 GARCH 模型的研究可以参见 Bollerslev（2010）.
（二）已实现测度模型研究
标准的 GARCH 模型采用每日收益的平方值来刻画目前资产的波动率水平，比较适合波动率低频变化的情况，不适合用于波动率快速变化的情形，因为在有很多期波动率变化时，GARCH 模型拟合波动率变化就很慢，见 Andersenetal.（2003）。随着日间交易数据越来越多，一些研究者提出一系列用于度量日间波动率的指标 realizedmeasures（已实现测度，简称 RM，下同）。本文主要使用其中的一种，即已实现方差（realizedvariance，简称 RV，下同）。Andersen 和 Bollerslev（1998）选择已实现测度为 RV 的波动率模型来研究噪音的方差和波动率之间的关系。Andersenetal.（2001）使用高频数据研究不同国家汇率的波动率和相关性，认为存在着持续的波动率和相关性的动态变化，且波动率和相关性是已实现的指标而不是潜在的指标。Barndorff-Nielsen 和 Shephard（2002）使用已实现测度 RV 来研究收益的随机性，得出了 RV 误差的渐近分布特性，通过这些特性来估计模型中的待估参数。
（三）基于高频数据的波动率预测模型研究
随着已实现测度模型的快速发展，波动率预测模型的发展也日新月异，呈现出丰富发展态势。Engle（2002）在估计 GARCHX 类型的模型时，在 GARCH 方程右侧加入一个 RM 指标，但他的模型是不完整的，不能够呈现收益率和波动率在超过一个周期之外的情形。Engle 和 Gallo（2006）引进了第一个完整的波动率预测模型，这个模型对每一个 RM 都确定一个 GARCH 结构。Corsi（2009）提出了 HAR-RV 预测模型来研究已实现波动率的长期记忆性特征，波动率在不同的时间段中有着不同的成分，结果显示了金融资产收益率具有厚尾、长期性、自相关性的特点。Shephard 和 Sheppard（2010）引进了另一个完整的模型，即 HEAVY 模型，相比于传统的 GARCH 模型，HEAVY 模型融进了多重潜在的波动过程，包含高频价格信息，即能得出高频的波动率水平，可以进一步发现 RM 中的额外信息，能够产生样本外的收益。
三、模型介绍
（一）GARCH 模型形式
经典的 GARCH 模型（GARCH1）：
（1）
具有单位根的 GARCH 模型（GARCH2）：
（2）
（二）HEAVY 模型形式
计算 RV 的公式：
表示第 t 天交易的第 j 个时段的个体。是第 t 天，时刻交易价格的对数值，是相邻两个时刻指数交易价格取对数值的差，即时刻收益率。
HEAVY1 模型主要公式：
（3）
（4）
是第 t 天收益率的条件方差，是第 t 天已实现测度的条件期望值。是 t-1 时刻的信息集，包含低频的收益率（，，…，）和高频的已实现测度（，，…，）。方程（3）中限制条件为 ω，α≥0，β∈[0，1）；方程（4）中的限制条件为，，≥0，+∈[0，1）。
HEAVY2 模型（reparameterization）主要公式：
（5）
（6）
在和稳态的条件下，，。那么我们可以把截距与期望值联系起来，这是 HEAVY2 的特点。。我们先用均值来估计，和，即，，。这样，HEAVY1 可以通过目标参数化转换成 HEAVY2。方程（6）的限制条件为。HEAVY2 模型与 HEAVY1 模型的差别只是方程结构和待估参数发生了变化，估计模型和预测模型与 HEAVY1 模型完全一致。
HEAVY3 模型（单位根条件下的 HEAVY1）主要公式：
（7）
（8）
（4）在单位根条件下变成了（8）。其中，0<<1。Shephard 和 Sheppard（2010）引入 HEAVY3，是为了提高模型多期预测的能力。
（三）HEAVY 参数估计模型
方程（3）使用高斯拟似然函数来估计：
;
其中设定
方程（4）也使用类似于方程（3）的方式来估计：
;
其中设定
在 HEAVY1 参数估计模型中通过方程的迭代最优化，获得拟似然函数的最大值。令 θ=（ω，，，），当 θ= 时，拟似然函数达到最大值。同理，HEAVY2 和 HEAVY3 的参数估计模型也通过上述方法进行构建、求解。
（四）预测模型
GARCH 的预测模型：
以 t 时刻为预测原点，向前一步预测：
（11）
则，其中，为低频信息集，包含低频的收益率（，，…，）。s>1，向前多步预测为：
（12）
HEAVY 的预测模型：
一步向前预测为（由 t-1 时刻预测 t 时刻）：
（13）
由 Shephard 和 Sheppard（2010）可知，多步向前预测的一般式为（s≥1）：
（14）
其中，δ=（），s=4 时，表示向前一周波动率预测的总和、当 s=21 时，表示向前一个月的波动率预测总和。
（五）损失函数
参照 Shephard 和 Sheppard（2010），我们使用拟似然损失函数（QLIK）。在一步或多步向前预测中，对于每个 s 值：
;
此处 =（，）′，通过似然函数可以算出三组参数的估计值，分别为（，）。公式（15）适用于 GARCH 类模型、HEAVY 类模型，本文用样本外收益率的平方代替真实波动率，即用代替真实的波动率，是各个模型向前一步预测或多步预测的波动率值，最后求出损失函数的累积值。
（六）显着性水平检测
判断两个模型预测精度的显着性水平，是通过计算 Diebold-Mariano 检验统计量（Diebold 和 Mariano，1995）的值，再与临界值比较。例如 A 预测模型与 B 预测模型，定义它们各期损失函数之差的均值：。loss（A）表示 A 模型的累积损失值，loss（B）表示 B 模型的累积损失值，p 表示向前预测的个数，为第 t 天 A 与 B 模型损失函数的差值。则模型的原假设为
DM 统计量的构造如下：（16）
公式（16）中的表示的标准差的一致性估计值，由异方差和自相关一致（HAC）（Newey 和 West，1987）的标准误差计算得到。当统计值小于临界值时，则显着，拒绝原假设。（10%、5% 的显着性水平临界值分别是-1.28、-1.65）
四、实证分析
（一）数据来源和实证步骤
本文先从 RESSET/DB（高频数据库）中下载了 2013-2018 年沪深 300 指数等 9 个指数集的实时成交价（频率为 5 分钟、10 分钟、15 分钟），再从 RESSET/DB（低频数据库）中下载了相应的交易日收盘价。
首先获取各指数 2013-2018 年高频条件下的交易价格，通过每日的高频数据集和 RV 计算公式可以得出每日已实现测度，最后汇成所有年份已实现测度集。然后把已实现测度集分成两部分，前一部分作为样本内数据，后一部分作为样本外数据。样本内数据进行参数拟合，即带入高斯拟似然函数，通过求似然函数的最大值，可以得出各个模型的待估参数值，GARCH1 模型中包括三个参数（）；GARCH2 模型中包括两个参数（）；HEAVY1 模型中包括六个参数（ω，α，β，，，）；HEAVY2 模型中包括四个参数（α，β，，）；HEAVY3 模型中包括四个参数（，α，β，）。样本外数据进行模型的预测。以各模型对 5 分钟频率条件下的上证 B 股指数向前一步预测为例，上证 B 股指数的预测结果如下图 4-1 所示：
图 4-1 上证 B 股指数各模型的预测结果
由图 4-1 可看出 5 个模型的波动率预测效果很接近，分辨不出哪个模型好，因此，需要损失函数模型判断模型的优劣，需要 Diebold-Mariano 检验统计量确定模型的优劣程度。
将各个模型的预测值带入损失函数模型中得出损失函数值，损失函数的值越小，预测模型效果越好（此时与预测值相对应的 r^2 作为真实值、对照值）。最后，通过 Diebold-Mariano 检验统计量判断两个模型优劣的显着性水平。
在获得上述 5 个模型的损失值之后，从 GARCH 模型中找出损失函数最小值对应的模型代表 GARCH 模型，同理，HEAVY 模型也一样。汇总了涵盖沪深两市代表性的 9 个样本指数的 5 分钟、10 分钟、15 分钟三种交易频率和向前 1 步预测、5 步预测、10 步预测三种预测幅度的 GARCH 和 HEAVY 模型的 Diebold-Mariano 检验统计量。结果如下表 4-1 所示：
（二）结果分析
通过表 4-1 中的数据可以得出以下结论：一是就显着性来说，显着的都是负数，因此，HEAVY 模型比 GARCH 模型的预测精度明显更高、更好。二是就 1 步预测来看，大部分值是负数，除了纯沪市指数的上证综指和上市 A 股指数，因此，对于各指数向前 1 步预测而言，HEAVY 模型的预测效果明显比 GARCH 模型更好。三是就 5 步预测来说，除了纯沪市指数的上证综指、上证 A 股和上证 B 股，剩余指数的 DM 统计值几乎都是负数。因此整体来看，还不能确定两个模型中哪个模型更好。但是分开来看，纯沪市指数向前 5 步预测，GARCH 模型预测更好，除了纯沪市指数外其他指数，HEAVY 模型预测效果更好。四是就 10 步预测来说，绝大部分的 DM 统计值都为负数，除了上证 B 股指数（不显着）。因此，对于各指数向前 10 步预测而言，HEAVY 模型的预测效果明显比 GARCH 模型更好，且显着。五是从交易频率来看，标记「*」的统计值，大部分处在频率为 10 分钟和 15 分钟，仅沪深 300 指数的 5 分钟、10 步预测的统计值达到「*」水平。因此，频率为 10 分钟和 15 分钟的 HEAVY 模型比 GARCH 模型更加精确，更加显着。六是通过纯沪市指数的上证综指、上证 A 股指数和上证 B 股指数的 DM 统计值来看，暂时还分辨不出两类模型的优劣，因为统计值有正、有负，没有规律。
五、总结与建议
（一）总结
本文通过两类波动率预测模型 GARCH 模型（两种）与 HEAVY 模型（三种）对沪深两市具有代表性的 9 种指数进行建模分析。文章中另外两个维度分别是交易频率和预测步长，是为了更好地从纵向和横向对比得出各个模型的优劣。本文用前三年的数据预测后三年的波动率，再和代替真实波动率的 r^2 进行比较，确定损失值。在参数估计和预测过程中，先通过 RV 公式计算出已实现测度集，分成样本内和样本外两部分，样本内数据用于参数估计，样本外数据用于波动率预测。然后将各个模型得出的预测值带入损失函数方程中，得出累积损失值。最后通过 Diebold-Mariano 检验统计量的正负值判断两类模型预测精度的优劣，通过显着性水平判断，确定某个模型是否比另一个模型预测效果明显要好。主要结果就是由表 4-1 得出的 6 条结论，整体而言，HEAVY 模型比 GARCH 模型的预测精度更高，尤其是在 10 步预测，10 分钟或 15 分钟的频率下更加显着，预测效果更好。
（二）建议
由表 4-1 可知，除了最后三个纯沪市指数之外，其他所有指数的 DM 统计量几乎都是负值，可以表明 HEAVY 模型是优于 GARCH 模型的，呈现显着性的地方更能说明这一点。可是，通过最后三个指数还得不出哪类模型效果好，在不同的维度下，各有各的薄弱优势，因为几乎都不显着。建议：对于证券投资者和风险投资者而言，若是目标对象是非纯沪市指数标的组合（即上证指数），则使用 HEAVY 模型进行指数波动率预测比 GARCH 模型效果更好，且很明显，无论处在何种维度条件下，这个结论几乎都成立。改进方向：一是扩大指数范围，再加入沪深两市、科创板、创业板、中小板等比较有代表性的指数进行波动率预测。二是扩大频率范围，再引入 20 分钟和 30 分钟交易频率的数据。三是加大预测步数，由于预测步数越长，损失值越大，预测越不精确，因此只增加一种向前 22 步预测即可。四是进行数据清理，对发现极端值的情况下，进行阈值约束。
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作者单位：首都经济贸易大学
作者 张云杰