居民消费价格指数基于 ARIMA 模型的构建

【摘要】居民消费价格指数是我国物价指数体系中极其重要的一个指数，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况，也是一种度量通货膨胀水平的工具，以百分比变化为表达形式。我国改革开放以来，社会经济的各方面发生巨大的变换，居民消费价格指数的变动也显示出自身的特点，本文主要是应用非平稳时间序列和数学统计软件 Eviews 对历年的居民消费价格指数进行相关分析、处理并建立模型，这有利于我们认识它与社会经济发展相联系的变动规律，文章最后根据所建立的模型举例进行了预测。

【关键词】时间序列 非平稳序列 乘积季节模型 建模

一、相关知识

时间序列分析是一种动态数据处理的统计方法。一个时间序列{xt}是长期趋势变动 Tt，季节效应 St，周期变动 Ct 和不规则变动因素 It 共同作用的结果。确定性时间序列分析方法的原理是用确定性函数对长期趋势变动 Tt，季节效应 St，周期变动 Ct 进行拟合，将非平稳时间序列平稳化。本文我们为了平稳化引入乘积季节模型。

乘积季节模型为：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌 k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以对不同周期的同一周期点之间的相关性进行拟合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用来消除同一周期不同周期点之间的相关性。

季节模型简记为 ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S 其中 p 和 q 是消除同一周期不同周期点之间相关性的自回归阶数和移动平均阶数，P 和 Q 是消除不同周期的同一周期点之间的相关性的自回归阶数和移动平均阶数，s 为周期长度，d 为差分的阶数，D 为季节差分的阶数。

二、数据预处理

本文选取的是 2000 年 1 月到 2011 年 12 月全国居民消费价格指数的数据，记居民消费价格指数为具体数据如下表 1：

通过 Eviews 软件可得到时间序列 y（t）的样本自相关系数图形可以发现，自相关系数呈线性衰减，衰减速度缓慢，这说明该序列 y（t）含有一定的趋势性。同时可以看出该序列不仅具有趋势性，还具有周期长度大约为 12 的季节效应。为消除趋势性成分，首先对序列 y1（t）进行一阶逐期差分，差分序列的线性图像如图 1：

图 1 图 2

从图中可以看出，差分后序列 y1（t）的均值是稳定在零点附近的，即通过一阶差分，原序列的趋势性基本消除了。

通过 Eviews 软件得到的一阶差分序列的样本自相关系数图形可知，当滞后期 k=12 时，该序列的样本自相关系数是-0.497，与 0 有显着差异，这表明序列具有周期为 12 个月的季节波动。再对 y1（t）进行一阶季节差分得到季节差分序列 y2（t），y2（t）的时序图为图 2，自相关图显示延迟 12 步自相关系数显着大于 2 倍标准差范围，这说明差分后序列中仍蕴含着非常显着的季节效应。延迟 1 步，2 步的自相关系数也大于 2 倍标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性，观察偏相关图得到的结论与此一致。

如果用 AR 模型和 MA 模型来模拟 y2（t）的话，我们可以由拟合的残差图看出模型残差非白噪声，模型信息提取不充分，这里就不赘述了。

考虑到该序列既具有短期相关性又具有季节效应，短期相关性和季节效应不能简单地，可加性地提取，因而估计该系列的季节效应和短期相关性之间具有复杂的关联性。这是，通常假定短期相关性和季节效应之间具有乘积关系，故我们用乘积季节模型来拟合。

三、建立模型

在选择模型时 ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要对观测数据进行对数变换，序列 y（t）经过对数变换记为序列 logy（t），由的自相关图与偏相关图（见图 2）可以知道：除了个别点外，自相关系数在 1 阶结尾，偏相关系数在 2 阶结尾。根据 Box-Jenkins 建模思想，我们可以尝试用，模型 1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型 2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型 3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型 4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12 来拟合。

相应的输出结果为分别如下：

从此可以看出：根据 AIC 定阶原则，选择 AIC 值最小的模型。因此，确定 ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12 为该居民消费价格指数的模型。由图 3 可以得到 ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的预测模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

对此模拟模型进行检验，检验结果显示该模型顺利通过残差白噪声检验和参数显着性检验。说明这个拟合充分提取了原数据的信息。

四、模型的预测

我们利用上述模型对 2011 年 10 月 ～12 月的数据进行预测，得到的预测结果为图 4：

图 4 图 3

由图中可以看出：Theil 不等相关系数为 0.378332，说明模型对数据的拟合还是很好的。因此这一模型对居民价格指数的预测有明显的参考价值。

参考文献

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作者 任桃红 赵联文