基于 ARIMA 模型的西安市国内生产总值预测分析

摘要：国内生产总值（GDP）是衡量一个国家经济状况的重要指标，对促进经济增长和协助相关部门做出经济决策具有重要意义。本文以陕西省西安市为例，选取西安市 1983 年至 2019 年 GDP 指标数据作为样本，实证分析找到拟合 GDP 最优模型 ARIMA（1，1，1）模型，对西安市 GDP 数据进行预估、检验。结果表明模型的 GDP 预测值与实际值误差在 5% 以内。并运用模型预测西安市未来 5 年 GDP 数据。本文对 GDP 的指标分析具有一定现实意义，希望能为西安市的经济决策提供参考。

关键词：时间序列 ARIMA 模型西安市 GDP

一、引言

GDP 是衡量一个国家、一个地区经济发展情况的重要指标依据。它是在一定时期内，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，反映一国的国力与财富。西安市是国务院批复确定的中国西部地区重要的中心城市，是我国四大古都之一，也是联合国科教文组织确定的「世界历史名城」，具有悠久的古韵文化，但其经济总量不高。2019 年公布 GDP 数据虽同比增长 7.0%，位居陕西省 10 市之首，但仍未破万亿元。为使西安市更加符合中心城市的要求，对其 GDP 数据的研究及相关经济政策的提出，对衡量当地地区经济状况具有一定意义。

二、国内外研究现状

目前，国内外许多学者对 GDP 的模型预测，大部分集中采用时间序列计量模型与灰色预测模型。时间序列计量模型适用于短期分析，灰色预测适用于通过少量的、不完整的信息，建立数学模型并进行预测。李守丽（2013）运用 ARIMA（1，2，3）模型对郑州市 2011 年到 2015 年 GDP 进行预测，模型误差较小。杨探（2018）运用 ARIMA（1，1，1）模型，使用 1996-2012 年的数据对我国城镇居民人均可支配收入进行分析和预测，模型拟合效果较好。王爽、汪海飞（2010）选取 1978-2019 年海南省 GDP 数据为研究样本，采用 ARIMA（1，1，2）模型对海南省国内生产总值在平均误差 5% 内对其做出短期预测。戴琳琳（2019）选取青岛市 1990 年至 2014 年 GDP 指标数据建立 ARIMA（1，1，2）模型，对青岛市 GDP 进行预测检验，模型的预测值与实际 GDP 值误差较小。对于西安市 GDP 预测模型研究较少，仅孙爱民（2020）选取西安市 2010-2018 年的 GDP 数据建立灰色 GM（1，1）模型，对 2019-2023 年的 GDP 数据小误差概率检验进行预测。

三、ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA 模型全称为自回归求和移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记 ARIMA），是由博克思-詹金斯（Box-Jenkins）提出的一种用于进行时间序列预测的模型。称为 box-jenkins 模型或者博克思-詹金斯法。ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR 是自回归，p 为预测模型中采用的时序数据本身的滞后数（lags），MA 为移动平均，q 为预测模型中采用的预测误差的滞后数（lags），d 为时间序列成为平稳序列所做的差分次数。常用自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF）判断（p，q）。AR 自回归模型，MA 移动平均模型，ARMA 模型都是特殊的 ARIMA 自回归积分滑动平均模型。

若序列{}通过 d 阶差分转化为平稳时间序列，即是一个平稳时间序列，且可以拟合成一个平稳可逆 ARMA（p，q）模型，序列{}拟合成如下样式：，称为求和自回归移动平均模型 ARIMA（p，d，q）

d 阶差分运算表示为：

差分后的序列是原序列的若干序列值的加权和，可拟合成一个自回归移动平均模型。当时，ARIMA（p，d，q）即为 ARMA（p，q）模型

其中{}为白噪声。给定{}与{}条件下，使用条件 MLE 估计 ARMA（p，q），首先根据 ACF（自相关系数）与偏自相关系数（PACF）判断是否存在或情况，若则判断模型为 MA（q）

若，则，产生的扰动项与产生的扰动项无交集，即 ACF 在时等于 0，出现截尾。PACF 函数拖尾，不包含自回归部分。

如果，则判断模型为 AR（p）

PACF 函数在时都等于 0，出现截尾。ACF 函数逐渐衰减，拖尾，不包含移动平均部分。

若以上两情况都不符合，ACF 与 PACF 函数都拖尾。考虑 ARMA（p，q）模型。

四、实证分析

（一）数据的处理

本文选取西安市 1983-2019 年的 GDP 数据作为研究对象，所有数据均来源于《陕西统计年鉴》，如表 1 所示。在其目前现有数据基础上，根据 ARIMA 模型对西安市 GDP 进行预测，样本数据区间为 1983-2019 年，将样本外 2015—2019 年的实际数据与预测数据进行对比，判断模型的拟合效果误差值，进而再预测 2020—2024 年西安市 GDP 的发展情况。

1.平稳性检验。将 1983—2019 年西安市 GDP 数据做折线图，如图 1 所示，随着时间的推移，直观看出西安市 GDP 呈现指数增长趋势，初步判断为非平稳的时间序列。为了消除异方差以及指数趋势，对其进行对数化处理，记为 lnGDP。

图 1 西安市 GDP 的时间趋势图

对 lnGDP 采用 ADF 单位根检验，检验结果如下表

表 2 lnGDP 的 ADF 检验结果

t-Statistic Protb.*

ADF 统计量 -1.371277 0.8496

检验标准 1% 临界值 -4.28458

5% 临界值 -3.562882

10% 临界值 -3.215267

注：临界值为 MacKinnon（1996）one-sided p-values。

由检验结果得知 ADF 统计量为-1.3713，该值明显大于不同显着性水平下的临界值，对应 P 值大于显着性水平，说明此时间序列存在单位根，lnGDP 序列是非平稳的。建立模型必须是平稳序列，对 LNGDP 进行一阶差分，一阶差分序列记为 DlNGDP，并进行单位根检验。如表 3 所示，ADF 检验的统计量为 -3.6865，该值小于 5% 显着性水平下的临界值 -3.574，即单位根是不存在的，DlNGDP 在 5% 显着性水平下是平稳的时间序列。由此可知，DlNGDP 序列是一阶单整过程，存在一个单位根。DlNGDP～I（1），可对平稳的 DlNGDP 构建 ARIMA（p，q）模型。

2.ARIMA 模型的建立和求解。运用博克思-詹金斯法，选择合适的 p，d 和 q 值，对西安市 lnGDP 的一阶差分变量做自相关分析，图 2 给出西安市 lnGDP 的自相关（ ACF）系数和偏自相关（ PACF）系数图。

从图 2 根据表 4 判断标准可以看出，自相关系数（ AC）与偏相关系数（ PAC ）都是拖尾的。但无法确定具体的 p 与 q，大致确定 p=1，q=1，但因为信服力不够，本文对其它模型 AR（1），MA（1），AR（2），MA（2），ARIMA（1，1，2），ARIMA（1，1，1）进行建模，根据 AIC 准则、SC 准则、R2，DW 值确定最佳适合精准度最高的模型。结果如下表所示

根据表 5 可知，由 DW 自相关检验可知 MA 模型存在一阶正自相关，从其余模型根据 AIC 准则，SC 准则越小越好，判断其最优模型，发现 ARIMA（1，1，1）模型优于其他模型，p 值为 1，q 值为 1，拟合效果较好。图 3 是其模型运算结果。

可对 lnGDP 初步建立 ARIMA（1，1，1）模型。利用 1983- 2019 年样本数据建立 ARIMA 模型，结果见下表：取 p=1，q=1，建立 ARIMA（1，1，1）模型：

模型的 R2= 0.99，D.W= 2.17

从表 6 看出模型的 LM 检验统计量 0.7655 水平上不拒绝原假设，即模型的残差不存在序列相关，亦可从图 4 中 Q-Stat 及其 p 值显示认为残差序列属于白噪声序列，即模型显着有效。

由表 7 可得在 0.7 水平上不拒绝原假设 H0：无异方差存在，即所建模型无异方差。

根据 ARIMA（1，1，1）模型对 2015—2019 年西安市 GDP 进行预测，绘制预测值与实际值误差比较，算出 5 年的平均误差为 3.1252% 在 5% 以内，误差较小，预测准确度较好。

根据西安市 1983-2019 历史数据，预测 2020-2024 年 GDP 数据值分别为 10208.46097 亿元、11442.64143 亿元、14304.41624 亿元、15953.99652 亿元，画出拟合图。

从预测中发现，西安市 GDP 随着时间的推移呈现快速上升趋势，有望于 2020 年突破万亿元大关，2024 年突破 1.5 万亿元。呈现良好的发展趋势，有助于西安市经济繁荣发展。

五、结束语

通过求和自回归移动平均模型建立的 ARIMA（1，1，1）模型较好地对西安市 1983—2019 年 GDP 非平稳时间序列数据进行了拟合，预测出 2020 年到 2024 年西安市 GDP 数据，计算其平均误差百分比为 3.1252%，控制在 5% 范围内。为西安市政府制定一系列的经济政策提供一定的决策依据。从预测数据中看出，西安市 GDP 数据有望在 2020 年突破万亿元大关。本文对 GDP 分析预测仅考虑其数值，但影响 GDP 数据的因素有很多，影响机制复杂，日后在考虑其它影响因素方面有待加强改进。

参考文献：

[1]郑少智，杨卫欣.基于 ARIMA 模型的我国国内生产总值的分析与预测[J].中国市场，2010，000（048）：24-25，28.

[2]李守丽.时间序列模型在地级市 GDP 预测中的应用[D].郑州大学，2013.

[3]杨探.基于 ARIMA 模型的我国城镇居民人均可支配收入的分析与预测[J].时代金融，2018（26）：54-55.

[4]王爽，汪海飞.基于 ARIMA 模型的海南省国内生产总值预测[J].对外经贸，2020（04）：44-46.

[5]戴琳琳.基于 ARIMA 模型的青岛市 GDP 预测分析[J].河北能源职业技术学院学报，2019，19（03）：60-62.

[6]孙爱民.基于改进 GM（1，1）模型的西安市 GDP 预测[J].价值工程，2020，39（09）：88-92.

[7]王燕.应用时间序列分析 - 第 2 版[M].中国人民大学出版社，2008.

作者系西安工业大学经济管理学院经济学硕士研究生

作者胡美