基于 GARCH 模型的上证综指波动性分析
【摘要】本文针对传统计量方法无法满足对股票收益率波动性大的特点进行分析这一缺陷，提出运用 GARCH 模型，建立异方差收益率假设，并对异方差的表现形式进行直接的线性扩展，对以上证综合指数为代表的上海证券交易所的股票价格的波动性进行了实证分析，并得出上证综指收益率波动呈现「尖峰厚尾」的特性以及非对称的 GARCH 模型能较好地拟合我国股市的股票价格序列波动的结论，从而对投资者的预测和决策起到指导作用。
【关键词】GARCH 模型 ARCH 模型
一、绪论
一般来说，在描述股票市场收益率时，传统的计量经济学模型通常都假定收益率的方差是不变的，但这一传统的假设并不合理，因为在实证研究中，通过大量的对股票收益率数据的分析表明收益率的方差并不是保持不变的。大量对股票收益率数据的研究结果表明，股票收益率的波动程度在一段时间段内时而比较大，时而比较小。这种时间序列具有「尖峰厚尾、微弱但持久记忆、波动集群」的特征，在运用传统经济计量方法时，并不能满足其假设的同方差性的条件，因此在对数据进行建模时，运用传统的回归模型进行推断并不能达到理想的效果，反而会产生严重的偏差。针对这一问题，Engle 首先提出了 ARCH 模型，为解决此类问题提供了新的思路，Bollerslev 在 ARCH 模型的基础上对模型进行了改进，形成了应用更加广泛的 GARCH 模型。本文以 GARCH 模型作为工具，对以上证综合指数为代表的上海证券交易所的股票价格的波动性先后进行了平稳性检验、自相关性检验，从而进行实证分析。
二、理论分析
本文以上海证券综合指数为研究对象，选取 2007 年 1 月至 2012 年 6 月一千多个交易日的日收盘指数的数据，旨在用 GARCH 模型来研究股价指数的收益率波动特征。GARCH 模型是被称为广义的 ARCH 模型，是 ARCH 模型的拓展，是 ARCH 模型的一种特例。GARCH 模型是针对金融数据专门打造的回归模型，其和传统模型的不同之处主要在于否定了收益率方差不变这一基本假设，并对误差的方差进一步建立模型。本文即利用了 ARCH 模型与改进的 GARCH 模型，假设异方差可变，从而进行分析，得出结论。在本文中，将股价指数的日收益率定义为相邻两天股价指数对数的一阶差分，即 Rt=lnPt-lnPt-1，其中 Pt 为第 t 日的收盘指数，Pt-1 为第 t-1 日的收盘指数，Rt 为第 t 日股价指数的日收益率。
三、实证分析
（一）数据特征
图 1 上证指数日收益率的描述性统计结果
首先，对上海证券综合指数收益率 Rt 的各项统计特征进行分析，见图 1 所示。通过观察可知，在图 1 中上证综合指数 Rt 表现出负的偏度，表明收益率呈明显右偏的特点。图 1 中样本数据峰度系数为 5.490125，明显大于标准正态分布的峰度值 3，表现出过度的峰度，比正态分布垂直方向有更高的收益率，反映了其尾部较厚的特征，表明了日收益率分布与正态分布相比呈现出「尖峰厚尾」的分布特征。该「尖峰厚尾」的分布特征反映出股市存在暴跌暴涨的极端现象，其表现并不是非常稳定的。Jarque-Bera 正态检验统计量相当大，从而拒绝正态分布的原假设，其分布并不具有正态性。
（二）波动的集聚性
从线性描述的上证综合指数每天收益率的图 2 中，我们可以看出收益率的波动性很大，而且呈现出很明显的波动群聚特征，即大波动之后跟随较大的波动，小波动之后跟随较小的波动。
图 2 收益率线性图
（三）指数对数日收益率的平稳性检验
对样本的日收益序列进行单位根检验（采用 Augmented Dickey-Fuller 检验），初步选择对原序列做不包括趋势项但包括截距项的 ADF 检验，得 ADF 检验结果如图 3 所示：
图 3 原序列不含趋势项包含截距项的 ADF 检验结果
由上图可知，带有截距项的 ADF 检验式的估计结果如下：
Rt=0.000538-0.994768Rt-1，DW=1.999，T=1327
统计量的值为-36.21207，检验结果显示，收益率序列不存在单位根，是平稳序列。
（四）收益率自相关性检验
对上证综合指数日收益率序列的 20 阶滞后量求自相关函数值与偏自相关函数值，如下图 4 所示。由图 4 可知上证综合指数的对数日收益率之间相关性并不显着，但在高阶之后呈弱相关。
图 4 上证综合指数对数日收益率的自相关与偏自相关图
（五）确定模型的滞后阶数
为了准确地度量上证综合指数日收益率的异方差，在自相关与偏自相关图及试算的基础上，根据赤池信息准则确定了模型的滞后阶数为 3 阶，对上证综合指数收益率序列利用 ARMA（3，3）模型进行回归估计。
表 1 相关模型的 AIC 值
（六）检验回归模型的残差序列的 ARCH 效应
采用 ARCH 模型对回归模型的残差序列进行自相关检验，结果如图 5 所示，收益率序列残差的自相关函数和偏自相关函数值都很小，表明收益率序列残差的自相关并不存在。对残差平方序列进行自相关检验，如图 6 所示，发现残差平方序列存在明显的自相关。
图 5 收益率残差序列的自相关与偏自相关图
图 6 收益率残差平方序列的自相关与偏自相关图
同时，对数据进行滞后 1 期的 ARCH-LM 检验，如图 7 所示，检验结果显示相伴概率 P 趋近于零，这个结果说明上证综合指数收益率序列存在明显的 ARCH 效应，因此并不适合运用 ARCH 模型，适宜采用 GARCH 模型。
图 7 残差序列的 ARCH-LM 检验
（七）建立 GARCH 模型
由于 GARCH（1，1）能很好地拟合许多金融时间序列，所以我们采用这一模型。结果如图 8 所示：
图 8 GARCH（1，1）模型拟合结果
由上图，均值方程是：
Rt=1.0967Rt-1-0.5922Rt-2-0.2728Rt-3+■t-1.0737■t-1+0.5548■t-2+0.3123■t-3
GARCH（1，1）方程是：
σ■■=0.00000436+0.064612■2■+0.926569σ■■
进一步对 GARCH（1，1）模型拟合结果的残差序列进行 ARCH-LM 检验，如图 9 所示，检验结果显示，ARCH-LM 检验均接受了不存在 ARCH 效应的原假设，说明经过 GARCH（1，1）模型的拟合后，明显降低了原序列的波动，而且去掉了其条件方差性。
图 9 拟合 GARCH（1，1）后的残差序列的 ARCH-LM 检验
四、结论
本文选取了相关年度上证综合指数收益率，先后建立 ARCH 模型、GARCH 模型，对上海证券交易所的股票价格的波动性进行了数据分析和实证研究。结果表明：一是上证综指收益率存在平稳的波动，但是并不存在正态性，收益率具有明显的「尖峰厚尾」特性。二是我国股市的股票价格波动具有条件异方差性，非对称的 GARCH（1，1）模型能较好地拟合我国股市的股票价格序列波动。
作者简介：陈冬（1987-），男，汉族，山东淄博人，青岛大学经济学院研究生，研究方向：国际经济与投资。
作者 陈冬