GARCH 型控制图及其在股票市场中的应用研究
【摘要】GARCH 型控制图可用来解决受控过程出现的自相关及波动簇聚问题。针对上证指数周收益率序列数据特征，建立广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型）进行拟合，同时构造 GARCH（1，1）型控制图，对异常点进行分析与验证，得出该控制图能够较好地对股票市场进行有效的预警与监控。
【关键词】GARCH 模型 GARCH 型控制图 预警监控
一、引言
20 世纪 20 年代，休哈特（W.A.Shewhart）提出过程控制理论及监控过程的工具——控制图。常规控制图主要有休哈特控制图、CUSUM 控制图、EWMA 控制图，其假设前提要求受控过程满足独立同分布，忽略了数据自身的过程自相关问题。Alwan（1988）提出在忽略自相关问题而使用控制图的情况下会导致大量虚发警报或漏发警报的现象。如今针对自相关过程的控制图主要有以下两类：一是修正控制图，包括修正休哈特控制图、修正 CUSUM 控制图和修正 EWMA 控制图等；另外一类是残差控制图，其利用时间序列模型对自相关过程进行拟合，拟合模型的残差序列被认为是服从独立同分布的，即可以用常规控制图。国内学者夏远强（2002）提出的 GARCH 型过程相关控制图为方差随时间变化的过程提供了处理方法，张力健等针对股票收益序列的不同统计特征，分别采用 AR 残差控制图、ARCH 控制图、AR-ARCH 残差控制图进行监控，以此来评价控制图应用于股票收益序列监控的有效性。
本文在前人研究的基础上，将统计过程控制理论与拟合金融数据的时间序列模型相结合，采用上证指数周收益率（2000.1-2012.9）数据，首先利用 GARCH 模型对收益率序列自相关过程进行拟合，然后建立相应的 GARCH 型控制图进行监测与控制。
二、GARCH 模型
现实中的金融时间序列数据往往会表现出显着的自相关性和条件异方差性，AR、MA、ARMA 等模型常用来处理不变方差（同方差）过程，Engle（1982）
引入自回归条件异方差模型（ARCH 模型）。Bollerslev（1986）建议用扩展 AR 模型的方法对 ARCH 模型扩展，提出 GARCH（p，q）模型，使其误差项是相互独立但不是同分布的，且误差项均值为零，方差与其滞后项有关，即得到 GARCH 模型形式为
将其划分为拟和值与残差值两部分，拟和值的条件均值和方差为：
三、GARCH 型控制图
GARCH 型控制图的构造原理亦是来源于残差控制图思想，由前文可知：在给定前期信息集的前提下，的条件均值、方差为
下面另，
则，则在时刻，，根据原理，对过程应用控制图，其控制限可设定为
由于是随着时间变化的，从而导致控制图中心线随时间波动，进而导致对异常点的监控变得更加复杂与困难，根据，根据残差控制图可从对过程的监控转向对残差的监控，在 99.73% 的置信区间内，新的控制限为
GARCH 型控制图的建立基于残差控制图思想，是残差控制图的一种。用受控过程的条件方差代替无条件方差构造控制限。对于 GARCH 型自相关过程，各个时刻的条件方差并不等于无条件方差，但在过程的某一时刻，过程正确识别的情况下，该时刻条件方差已知，使用条件方差确定控制限是可行的，从而消除了 GARCH 型过程的异方差影响。由于方差随时间波动，故 GARCH 型控制图的上下限也是随时间波动而非固定不变。
四、实证分析
本文选取上证指数周收益率 SZ（2000.1-2012.9）的数据，共 638 个周样本，见图 1。
首先对时间序列数据进行平稳性检验。经由 Dickey-Fuller（ADF）和 Phillips- Perron（PP）检验方法对该时间序列数据进行单位根检验，结果为：ADF=-24.4673，PP=-24.8179，均小于相对应的 3 个临界值，故该序列不存在单位根，该序列平稳。通过 SZ 的相关图与偏自相关图分析，知应该建立 AR（p）模型，经过多次试验 AR（2）、AR（3）模型较好，输出结果表达式为：
对残差序列进行 ARCH LM 检验，结果显示：
由于 F 和 LM 统计量所对应的概率均小于 0.05，拒绝原假设，残差的平方项存在 2 阶自相关，即模型存在自回归条件异方差。下面建立 GARCH（1，1）模型，结果显示 AR（3）的系数不具显着性，剔除 AR（3）项，继续估计得：
对 GARCH（1，1）模型进行 ARCH LM 检验，结果显示 ARCH LM 检验 F 和 LM 统计量均较小且所对应的概率均远大于 0.05，且残差自相关、偏自相关图 Q 检验的 p 值较大，表名残差序列不具有相关性。
接下来将考虑应用 GARCH（1，1）控制图对上证指数周收益率序列残差进行监控，通过 Eviews 软件可进行该控制图的构造，结果见图 2。
从上述控制图可看出共出现 5 个异常点，分别为第 121 周、232 周、268 周、313 周、345 周，对第 302-352 周的数据（2010 年数据）进行详细分析，截取该段控制图，见图 3。
第 313 周、第 345 周分别对应日期为 2010 年 4 月 2 日、2010 年 11 月 12 日。第 313 周周收益率为 3.77%，超出上控制限，主要原因是因为 2010 年 3 月 31 日起正式开通证券市场融资融券交易系统，该系统在一定程度上放大资金和证券供求，增加市场交易量，增加证券市场流动性，有利于为投资者提供多样化的投资机会和风险回避手段、提高投资者的资金利用率、增加反映证券价格的信息，从而提高了本周的收益率。第 345 周周收益率为 4.09%，亦超出上控制限，主要原因是由有色和煤炭板块引发的。首先，受美元贬值、人民币升值影响，推动以有色金属、黄金为代表的国际大宗商品价格强势上涨，同时在国内期货市场中有色金属价格也创出新高；其次，国内通胀持续升温，CPI 不断创出历史高峰，市场热点普遍转向有以有色为代表的抗通胀板块；最后，宽松的货币政策导致流动性扩张、市场资金从楼市转向资本市场，国内期货市场受国内外影响，籼稻、糖、有色金属等强势涨停，各个品种频创新高。上述三大原因，直接把有色金属等资源股推到了市场的中央，成为领涨的主力。而且，受其影响，那些低估值绩优的二线蓝筹股以及具有实质性炒作题材的个股，纷纷强势补涨，形成了历史上罕见的井喷行情，究其原因是由于投资者的过度投机行为导致了第 345 周周收益率超出上控制限。
五、结论
由于常规控制图忽略了数据过程的自相关问题，面对金融市场数据出现的自相关性、簇聚性其控制能力大打折扣。本文根据上证指数周收益序列数据自身特点，选择合适的模型及控制图，构造合适的控制限，对异常点进行分析，进而可以评价过去一段时间股票市场是否运作正常，从而达到对股票市场进行监控的作用。加入当下股票市场数据，重新估计模型与构造控制图，可以对股票市场进行有效的预警，也可以对宏观政策及其他影响股票市场收益的事件进行有效识别。
参考文献
[1]夏远强，韩文秀，何民.GARCH 型过程相关控制图[J].数学的实践与认识，2003，32（04）：583-587.
[2]张力健，刘志新，杨继平.过程控制图在股票收益波动分析中的应用研究[J].管理工程学报，2008，22（04）：140-145.
[3]Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingtom inflation[J]. Econometrica，1982，50：987-1007.
[4]Bollerslev T.A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return[J]. Journal of Econometrics，1986， 69：542-547.
基金项目：教育部人文社会科学研究项目（11YJA630019）
作者简介：李京磊，青岛大学经济学院研究生，研究方向：金融工程与管理；高齐圣，教授，青岛大学经济学院博士生导师；孙彤，中国建设银行青岛市分行风险部经理。
（责任编辑：刘晶晶）
作者 李京磊 高齐圣 孙彤